Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([0;5]\) bằng

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Đáp án: 7.23

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với điểm xuất phát trên mặt đất. Quy ước các hướng như sau:

+ Trục \(Ox\) hướng về phía Đông (phía Tây tương ứng với chiều âm của \(Ox\)).

+ Trục \(Oy\) hướng về phía Bắc (phía Nam tương ứng với chiều âm của \(Oy\)).

+ Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (độ cao cách mặt đất).

- Dựa vào dữ kiện bài toán, ta xác định tọa độ của ba khinh khí cầu:

+ Khinh khí cầu thứ nhất \(A\): cách điểm xuất phát \(2\text{ km}\) về phía Nam, cao \(0,5\text{ km}\) \(\Rightarrow A(0; -2; 0,5)\).

+ Khinh khí cầu thứ hai \(B\): cách điểm xuất phát \(1\text{ km}\) về phía Bắc, \(1\text{ km}\) về phía Tây, cao \(0,3\text{ km}\) \(\Rightarrow B(-1; 1; 0,3)\).

+ Khinh khí cầu thứ ba \(C\): cách điểm xuất phát \(5\text{ km}\) về phía Đông, cao \(0,4\text{ km}\), tung độ \(y_C\) chưa biết \(\Rightarrow C(5; y_C; 0,4)\).

- Vì ba khinh khí cầu thẳng hàng nên ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng. Ta có các vectơ:

\[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 0; 1 - (-2); 0,3 - 0,5) = (-1; 3; -0,2) \]

\[ \overrightarrow{AC} = (5 - 0; y_C - (-2); 0,4 - 0,5) = (5; y_C + 2; -0,1) \]

- Điều kiện để ba điểm thẳng hàng là \(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\) với \(k \in \mathbb{R}\). Từ tọa độ trục \(Ox\), ta có:

\[ 5 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -5 \]

- Kiểm tra lại với trục \(Oz\): \(-0,1 = -5 \cdot (-0,2) = 1\) (vô lý). Điều này cho thấy đề bài có sự mâu thuẫn về giả thiết độ cao của các khinh khí cầu khi thiết lập tính thẳng hàng thực tế trong không gian 3D. Tuy nhiên, nếu xét bài toán theo góc nhìn hình chiếu hoặc giả định hệ phẳng để tìm vị trí \(y_C\), ta sử dụng tỉ lệ của thành phần dịch chuyển phẳng để tìm \(y_C\):

Từ \(5 = -5 \cdot (-1)\), ta suy ra: \[ y_C + 2 = -5 \cdot 3 \Rightarrow y_C + 2 = -15 \Rightarrow y_C = -17 \]

Khi đó tọa độ điểm \(C\) là \(C(5; -17; 0,4)\).

- Khoảng cách giữa khinh khí cầu thứ nhất và thứ ba là độ dài đoạn thẳng \(AC\):

\[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-17 - (-2))^2 + (0,4 - 0,5)^2} \]

\[ AC = \sqrt{5^2 + (-15)^2 + (-0,1)^2} = \sqrt{25 + 225 + 0,01} = \sqrt{250,01} \approx 15,81\text{ km} \]

* Lưu ý bổ sung trường hợp đề bài bị nhầm lẫn giả thiết thẳng hàng trên mặt phẳng tọa độ địa lý (bỏ qua cao độ z khi xét thẳng hàng):

Nếu ba điểm thẳng hàng trên hình chiếu mặt phẳng, ta tìm được \(y_C = -17\). Tính khoảng cách thực tế trong không gian giữa \(A\) và \(C\) như trên ra kết quả là \(15,81\text{ km}\).

Trong trường hợp nếu đề bài gốc chuẩn hóa cho tỉ lệ độ cao phù hợp, ví dụ như \(C\) nằm giữa hoặc ngoài sao cho \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương hoàn toàn, khoảng cách được tính chính xác theo công thức tọa độ \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\).

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 1.2

Hướng dẫn giải:

- Tìm giá trị đại diện \(x_i\) của từng nhóm:

• Nhóm \([9;10)\): \(x_1 = 9,5\) (tần số \(n_1 = 18\))
• Nhóm \([10;11)\): \(x_2 = 10,5\) (tần số \(n_2 = 10\))
• Nhóm \([11;12)\): \(x_3 = 11,5\) (tần số \(n_3 = 6\))
• Nhóm \([12;13)\): \(x_4 = 12,5\) (tần số \(n_4 = 4\))
• Nhóm \([13;14)\): \(x_5 = 13,5\) (tần số \(n_5 = 2\))

- Tổng số học sinh: \(n = 18 + 10 + 6 + 4 + 2 = 40\).

- Số trung bình cộng \(\bar{x}\):

\[\bar{x} = \frac{18 \cdot 9,5 + 10 \cdot 10,5 + 6 \cdot 11,5 + 4 \cdot 12,5 + 2 \cdot 13,5}{40} = \frac{422}{40} = 10,55\]

- Phương sai \(s^2\):

\[s^2 = \frac{1}{40} \left[ 18 \cdot (9,5)^2 + 10 \cdot (10,5)^2 + 6 \cdot (11,5)^2 + 4 \cdot (12,5)^2 + 2 \cdot (13,5)^2 \right] - (10,55)^2\]

\[s^2 = \frac{4510}{40} - 111,3025 = 112,75 - 111,3025 = 1,4475\]

- Độ lệch chuẩn \(s\):

\[s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1,4475} \approx 1,2031\]

Làm tròn đến hàng phần mười ta được kết quả là 1.2.

Đáp án: 41

Hướng dẫn giải:

- Đổi đơn vị khối lượng rau thu hoạch mỗi ngày: \(1 \text{ tấn} = 1000 \text{ kg}\).

- Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm trên mỗi kg rau sạch (\(x \ge 0\)).

- Khi đó:

• Giá bán rau sạch mới là: \(30 + x\) (nghìn đồng/kg).
• Khối lượng rau thừa tương ứng tăng thêm là: \(20x\) (kg).
• Khối lượng rau sạch bán được cho người tiêu dùng là: \(1000 - 20x\) (kg) với điều kiện \(1000 - 20x \ge 0 \Rightarrow x \le 50\).
• Khối lượng rau thừa bán làm thức ăn chăn nuôi là: \(20x\) (kg) với giá cố định là \(2\) nghìn đồng/kg.

- Tổng số tiền trang trại thu được mỗi ngày (đơn vị: nghìn đồng) là:

\[ T(x) = (30 + x)(1000 - 20x) + 2 \cdot (20x) \]

\[ T(x) = 30000 - 600x + 1000x - 20x^2 + 40x \]

\[ T(x) = -20x^2 + 440x + 30000 \]

- Xét hàm số bậc hai \(T(x) = -20x^2 + 440x + 30000\) trên đoạn \([0; 50]\):

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{440}{2 \cdot (-20)} = 11\) (thỏa mãn điều kiện).

- Vậy số tiền tăng thêm tối ưu là \(11\) nghìn đồng/kg.

Giá bán rau sạch tối ưu để đạt doanh thu lớn nhất là: \(30 + 11 = 41\) nghìn đồng/kg.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho \(A'(0;0;0)\), \(A(0;0;1)\), \(B\left(0;\frac{1}{2};1\right)\). Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là \(60\text{ cm}\) để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi \(S(a;b;c)\), hãy tìm giá trị của \(a + b + c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 1.98

Hướng dẫn giải:

- Từ tọa độ các điểm đề bài cho:

• \(A'(0;0;0)\) trùng với gốc tọa độ \(O\).
• \(A(0;0;1) \Rightarrow \overrightarrow{A'A} = (0;0;1)\), trục \(Oz\) nằm trên đường thẳng \(A'A\).
• \(B\left(0;\frac{1}{2};1\right) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \left(0;\frac{1}{2};0\right)\), trục \(Oy\) song song với \(AB\).

- Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông nên cạnh của hình vuông \(ABCD\) có độ dài bằng \(AB = \frac{1}{2}\text{ m}\).

- Suy ra tọa độ các đỉnh còn lại của mặt đáy \(ABCD\) là:

• \(D\left(\frac{1}{2};0;1\right)\)
• \(C\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right)\)

- Gọi \(I\) là tâm của hình vuông đáy \(ABCD\) (cũng là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng \((ABCD)\) do \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều). Tọa độ của \(I\) là trung điểm của \(AC\):

\[ I = \left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2}; \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}; 1\right) = \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; 1\right) \]

- Vì \(S\) nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại \(I\) nên tọa độ của \(S\) có dạng: \(S\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; c\right)\) với \(c = 1 + SI\).

- Theo đề bài, cạnh bên của khối chóp bằng \(60\text{ cm} = 0,6\text{ m} \Rightarrow SA = 0,6\text{ m}\).

- Tính độ dài đoạn \(IA\):

\[ IA^2 = \left(0 - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(0 - \frac{1}{4}\right)^2 + (1 - 1)^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \]

- Xét tam giác vuông \(SIA\) vuông tại \(I\), ta có chiều cao \(h = SI\):

\[ SI^2 = SA^2 - IA^2 = 0,6^2 - \frac{1}{8} = 0,36 - 0,125 = 0,235 \]

\[ \Rightarrow SI = \sqrt{0,235} \approx 0,4848\text{ m} \]

- Do đó, cao độ \(c\) của đỉnh \(S\) là: \(c = 1 + \sqrt{0,235} \approx 1,4848\).

- Tọa độ đỉnh \(S(a;b;c)\) là: \(a = 0,25\); \(b = 0,25\); \(c \approx 1,4848\).

- Tính giá trị biểu thức \(a + b + c\):

\[ a + b + c = 0,25 + 0,25 + 1 + \sqrt{0,235} = 1,5 + \sqrt{0,235} \approx 1,9848 \]

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được: **1.98**.

Đáp án: 4,7

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đặt tại đỉnh dưới cùng, phía trước (đỉnh chung của cạnh dọc trung tâm và hai cạnh đáy phía trước của khối Rubik).

- Quy ước các trục tọa độ như sau:

+ Trục \(Ox\) hướng dọc theo cạnh đáy bên trái (mặt trước - bên trái).

+ Trục \(Oy\) hướng dọc theo cạnh đáy bên phải (mặt trước - bên phải).

+ Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên theo cạnh dọc trung tâm.

- Do mỗi cạnh của hình lập phương nhỏ bằng \(1\text{ cm}\), ta xác định tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) bằng cách đếm số đơn vị dọc theo các lưới ô vuông:

+ Điểm \(A\) nằm ở mặt trên cùng (\(z = 4\)), nằm trên cạnh biên phía sau - bên trái (\(x = 3\)), cách góc bên trái 2 đơn vị theo trục \(Oy\) \(\Rightarrow A(3; 3; 4)\).

+ Điểm \(B\) nằm ở mặt bên phải (\(x = 0\)), cách trục dọc trung tâm 3 đơn vị theo trục \(Oy\) (\(y = 1\)) và ở độ cao tương ứng với hàng thứ hai từ dưới lên (\(z = 1\)) \(\Rightarrow B(0; 1; 1)\).

- Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) được tính bằng công thức:

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (1 - 3)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-3)^2} \]

\[ AB = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \approx 4,69\text{ cm} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là **4,7cm**.

Đáp án: 630

Hướng dẫn giải:

- Bài toán yêu cầu tìm giá trị \(x \in [0; 900]\) sao cho hàm số lợi nhuận \(f(x) = -x^3 + 900x^2 + 56700x + 450000\) đạt giá trị lớn nhất.

- Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\):

\[ f'(x) = -3x^2 + 1800x + 56700 \]

- Tìm các nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn \([0; 900]\):

\[ -3x^2 + 1800x + 56700 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 600x - 18900 = 0 \]

\[ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 630 \quad (\text{thỏa mãn } 0 \le x \le 900) \\ &x = -30 \quad (\text{loại}) \end{aligned}\right. \]

- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại điểm cực trị:

+ \(f(0) = 450000\)

+ \(f(630) = -(630)^3 + 900 \cdot (630)^2 + 56700 \cdot 630 + 450000 = 143307000\)

+ \(f(900) = -(900)^3 + 900 \cdot (900)^2 + 56700 \cdot 900 + 450000 = 51480000\)

- So sánh các giá trị thu được, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 630\).

- Vậy nhà máy cần sản xuất **630** sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.